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Analisi matematica 2

Bramanti, Pagani, Salsa

2009 Zanichelli

500 pagine

Isbn: 9788808122810

 

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Zanichelli 2009


Analisi matematica di Bramanti, Pagani e Salsa è un corso per la formazione di base che riesce a conferire anche il giusto spazio all’approfondimento grazie ai rigorosi criteri didattici adottati:

Il minimo di astrazione necessaria viene inserita per raggiungere l’obiettivo di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali dell’analisi matematica.
Equilibrio tra sinteticità e chiarezza: la giustificazione del risultato, quando non richieda un apparato formale troppo pesante, rende più consapevoli dei nessi logici.
Motivazione: ogni nuovo concetto è introdotto attraverso esempi tratti dalle applicazioni più comuni e la teoria è accompagnata costantemente con riferimenti a problemi tratti da altre scienze, evidenziando il ruolo dello strumento matematico nella modellizzazione.
Nessuna separazione tra “teoria” e “pratica”: esempi, esercizi e applicazioni sono costantemente alternati alla presentazione teorica.
Modularità: si è mantenuta la massima indipendenza possibile tra gli argomenti trattati, compatibilmente con la struttura logica del discorso matematico.

Indice
Prefazione vii
1 Equazioni differenziali 1
1 Modelli differenziali 2
2 Equazioni del primo ordine 3
2.1 Generalit`a 3
2.2 Equazioni a variabili separabili 5
2.3 Equazioni lineari del primo ordine 10
3 Equazioni lineari del secondo ordine 18
3.1 Spazi di funzioni 19
3.2 Generalit`a sulle equazioni lineari. Problema di Cauchy 20
3.3 La struttura dell’integrale generale 22
3.4 Equazioni omogenee a coefficienti costanti 26
3.5 Equazioni non omogenee 28
3.6 Vibrazioni meccaniche 35
4 Complementi 42
4.1 Teorema di esistenza e unicit`a per le equazioni a variabili separabili
42
4.2 Cenni alle equazioni lineari di ordine n 44
2 Calcolo infinitesimale per le curve 49
1 Richiami di calcolo vettoriale 49
2 Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuit`a 52
3 Curve regolari e calcolo differenziale vettoriale 55
3.1 Esempi introduttivi 55
3.2 Arco di curva continua 58
3.3 Derivata di una funzione vettoriale. Arco di curva regolare 60
3.4 Integrale di una funzione a valori vettoriali 64
3.5 Alcune classi di curve piane 65
4 Lunghezza di un arco di curva 68
4.1 Curve rettificabili e lunghezza 68
4.2 Cambiamenti di parametrizzazione, curve equivalenti 72
4.3 Parametro arco o ascissa curvilinea 73
5 Integrali di linea (di prima specie) 74
6 Elementi di geometria differenziale delle curve 78
6.1 Curvatura e normale principale per una curva in Rm 78
iv Indice c 978-88-08-06485-1
6.2 Calcolo della curvatura per curve nello spazio R3 o nel piano 82
6.3 Torsione e terna intrinseca per curve nello spazio R3 85
7 Complementi 90
7.1 Lunghezza di una curva regolare 90
7.2 Alcune applicazioni fisiche notevoli 92
3 Calcolo differenziale per funzioni reali di pi`u variabili 95
1 Grafici e insiemi di livello 95
2 Limiti e continuit`a per funzioni di pi`u variabili 99
2.1 Definizioni e propriet`a di limiti e funzioni continue 99
2.2 Calcolo dei limiti in pi`u variabili: analisi delle forme di indeterminazione
102
3 Topologia in Rn e propriet`a delle funzioni continue 107
3.1 Concetti fondamentali 108
3.2 Propriet`a topologiche delle funzioni continue 115
4 Derivate parziali, piano tangente, differenziale 119
4.1 Derivate parziali 119
4.2 Piano tangente 122
4.3 Differenziabilit`a e approssimazione lineare 124
4.4 Derivate direzionali 130
4.5 Calcolo delle derivate 134
5 Derivate di ordine superiore e approssimazioni successive 143
5.1 Derivate di ordine superiore 143
5.2 Differenziale secondo, matrice hessiana, formula di Taylor al
secondo ordine 148
6 Ottimizzazione. Estremi liberi 152
6.1 Generalit`a sui problemi di ottimizzazione 152
6.2 Estremi liberi. Condizioni necessarie del prim’ordine 156
6.3 Forme quadratiche. Classificazione 157
6.4 Forme quadratiche. Test degli autovalori 162
6.5 Studio della natura dei punti critici 165
7 Funzioni convesse di n variabili 178
7.1 Generalit`a sulle funzioni convesse 178
7.2 Ottimizzazione di funzioni convesse e concave 180
8 Funzioni definite implicitamente 183
8.1 Funzione implicita di una variabile 183
8.2 Funzione implicita di n variabili 188
9 Complementi 190
9.1 Topologia e funzioni continue 190
9.2 Funzioni omogenee 192
9.3 Differenziali e formula di Taylor di ordine superiore 197
4 Calcolo differenziale per funzioni di pi`u variabili a valori vettoriali 201
1 Funzioni di pi`u variabili a valori vettoriali: generalit`a 201
1.1 Superfici in forma parametrica 201
1.2 Trasformazioni di coordinate 203
1.3 Campi vettoriali 205
c
978-88-08-06485-1 Indice v
2 Limiti, continuit`a e differenziabilit`a per funzioni f : Rn → Rm 207
3 Superfici regolari in forma parametrica 210
4 Variet`a k-dimensionali in Rn e funzioni definite implicitamente 218
4.1 Variet`a k-dimensionali in Rn in forma parametrica 218
4.2 Funzioni implicite definite da sistemi di equazioni 220
4.3 Variet`a k-dimensionali in Rn in forma implicita 222
5 Trasformazioni di coordinate e loro inversione 224
5.1 Il teorema della funzione inversa 224
5.2 Trasformazione di operatori differenziali 229
6 Ottimizzazione. Estremi vincolati 231
6.1 Vincoli di uguaglianza e moltiplicatori di Lagrange. Funzioni
di due variabili 231
6.2 Moltiplicatori di Lagrange. Il caso generale 240
6.3 Vincoli di disuguaglianza e teorema di Kuhn-Tucker 246
5 Calcolo integrale per funzioni di pi`u variabili 249
1 Integrali doppi 249
1.1 Integrale di una funzione limitata definita su un rettangolo 249
1.2 Funzioni integrabili su dom`ıni non rettangolari. Insiemi semplici,
regolari, misurabili 256
1.3 Propriet`a elementari dell’integrale doppio 261
1.4 Calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione 263
1.5 Calcolo degli integrali doppi: cambiamento di variabili 271
2 Integrali doppi generalizzati 276
3 Il calcolo degli integrali tripli 278
4 Derivazione sotto il segno di integrale 284
5 Complementi 286
5.1 La funzione Gamma di Eulero 286
5.2 Definizioni e propriet`a elementari degli integrali in Rn 289
6 Campi vettoriali 293
1 Campi vettoriali e integrali di linea di seconda specie 293
1.1 Linee di campo 293
1.2 Gradiente, rotore e divergenza 295
1.3 Integrale di linea di un campo vettoriale. Lavoro e circuitazione.299
1.4 Campi conservativi e potenziali 301
1.5 Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi 305
1.6 Campi solenoidali e potenziale vettore 310
1.7 Il linguaggio delle forme differenziali 314
2 Formula di Gauss-Green nel piano 316
3 Area e integrali di superficie 320
3.1 Area di una superficie 320
3.2 Integrale di superficie di una funzione continua 325
4 Integrale di superficie di un campo vettoriale. Flusso 327
4.1 Superfici orientate. Bordo di una superficie. Superfici regolari
a pezzi 328
4.2 Flusso 331
vi Indice c 978-88-08-06485-1
5 Teorema della divergenza 334
6 Teorema del rotore 339
7 Serie di potenze e serie di Fourier 347
1 Serie di funzioni e convergenza totale 347
2 Serie di potenze 354
2.1 Propriet`a fondamentali delle serie di potenze 354
2.2 Serie di Taylor e serie di potenze 361
3 Serie trigonometriche e serie di Fourier 367
3.1 Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche 367
3.2 Richiami sugli spazi vettoriali con prodotto scalare 371
3.3 Coefficienti e serie di Fourier di una funzione. Approssimazione
in media quadratica 374
3.4 Esempi e osservazioni sul calcolo dei coefficienti di Fourier 379
3.5 Forma esponenziale complessa delle serie di Fourier 383
3.6 Convergenza puntuale delle serie di Fourier 386
3.7 Alcune interpretazioni fisiche 394
3.8 Applicazioni alle equazioni differenziali della fisica matematica.
Metodo di separazione delle variabili 397
4 Complementi 409
4.1 Il metodo di Frobenius per la soluzione delle equazioni differenziali
409
4.2 Criteri per la convergenza delle serie trigonometriche 412
4.3 Fenomeno di Gibbs 414
8 Teoria qualitativa di equazioni differenziali e sistemi 417
1 Equazioni del prim’ordine 417
1.1 Problema di Cauchy 417
1.2 Alcune classi di equazioni del prim’ordine 427
1.3 Equazioni autonome. Diagrammi di fase. Stabilit`a 430
2 Problema di Cauchy per sistemi o equazioni di ordine n 435
3 Complementi 441
3.1 Lemma di Gronwall e dipendenza continua 441
4 Sistemi autonomi bidimensionali 443
4.1 Generalit`a 443
4.2 Stabilit`a per sistemi autonomi lineari 454
4.3 Stabilit`a per sistemi autonomi non lineari 461
A Trasformata di Laplace e trasformata di Fourier 467
1 Trasformata di Laplace. Definizione ed esempi 467
2 Propriet`a della trasformata di Laplace 470
3 Trasformazione inversa di Laplace 477
4 Funzione di trasferimento di un sistema 478
5 Trasformata di Fourier 481
6 Propriet`a della trasformazione di Fourier 484
7 Una applicazione: studio di un circuito RC 488

  • Edizione Zanichelli
  • codice isbn 9788808122810
  • Autore BRAMANTI, PAGANI, SALSA
  • Anno 2009
  • Pagine 504

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