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Analisi matematica 1 2°ediz.

Pagani, Salsa

2015  Zanichelli

496 pagine

Isbn: 9788808151339

 

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Zanichelli 2015


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Elementi di teoria degli insiemi 1

1. Nozioni di logica matematica 1 1.1 Logica delle proposizioni. Connettivi logici 1 1.2 Tavole di verita` 3 1.3 Tautologie e regole di deduzione 4 1.4 Logica dei predicati. Quantificatori 6

2. Simboli e operazioni insiemistiche fondamentali 11 2.1 Definizioni 11 3. Relazioni 16 3.1 Prodotto cartesiano 16 3.2 Definizione di relazione 17 3.3 Equivalenze 18 3.4 Ordinamenti 20 4. Funzioni 22 4.1 Definizione di funzione 22 4.2 Funzioni particolari. Successioni. Multifunzioni 27 4.3 Funzione composta 30 4.4 Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa 31 5. Insiemi finiti 34 5.1 Numeri cardinali. Numeri naturali 34 5.2 Il principio di induzione 36 6. Elementi di calcolo combinatorio 41 6.1 Permutazioni, combinazioni, disposizioni 42 6.2 Il principio di inclusione ed esclusione 48 6.3 Probabilita` in spazi finiti 52 7. Insiemi infiniti 56 Appendice. Cenno alla teoria assiomatica degli insiemi 59 1 Linguaggio della teoria 59 2 Apparato deduttivo 59

Insiemi numerici 61

1. DaNaQ 61 1.1 Rappresentazione dei numeri naturali 61 1.2 I numeri interi relativi 63 1.3 I numeri razionali 64 1.4 Struttura di Q 64 1.5 Rappresentazione dei numeri razionali 66iv Indice generale

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Appendice A. Dimostrazione delle proprieta` di campo ordinato dei numeri reali 79 Appendice B. I numeri-macchina. Errori 82 3. Radicali - potenze - logaritmi 86 3.1 Radici n-esime aritmetiche 86 3.2 Potenze con esponente reale 87 3.3 Logaritmi 88 3.4 Alcune disuguaglianze 90 4. I numeri complessi 92 4.1 Definizione di C e struttura di campo 93 4.2 Coniugato, modulo e argomento 94 4.3 Potenze e radici 98

Spazi euclidei 103

1. Gli spazi euclidei: Rn e Cn 103 1.1 Spazi vettoriali lineari 103 1.2 Gli spazi Rn e Cn 106 1.3 Gruppi 109 1.4 Prodotto scalare in Rn 110 1.5 Prodotto scalare in Cn 115

2. Elementi di topologia in Rn 118 2.1 Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati 118 2.2 Insiemi aperti, chiusi, limitati 120 2.3 La retta ampliata. Gli spazi R ̇ n 125 2.4 Insiemi compatti 128 2.5 Insiemi connessi. Insiemi convessi 129

L’operazione di limite 133

1. Funzioni reali di variabile reale 133 1.1 Positivita` e simmetrie 133 1.2 Funzioni limitate 135 1.3 Funzioni monotone 137

2. Limiti di funzioni da R in R 141 2.1 Definizione di limite 141 2.2 Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto; in R ̇ 144 2.3 Limiti e ordinamento 146 2.4 Limiti e struttura algebrica di R 148 2.5 Esistenza del limite (per funzioni monotone) 154 2.6 Infinitesimi e infiniti. Confronti 157 2.7 Asintoti 160

3. Successioni a valori in R 164 3.1 Limite di una successione 164 3.2 Confronti 167 3.3 Il numero “e”; alcuni limiti notevoli 171 3.4 Esistenza del limite. Massimo e minimo limite 175

2. I numeri reali

2.1 Definizione di numero reale 2.2 Ordinamento

2.3 Struttura algebrica 2.4 Proprieta` di completezza 2.5 Isomorfismo tra campi ordinati completi 2.6 Potenza del continuo

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69 70

71 74 76 77

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Indice generale v

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6

3.5 Esistenza del limite finito. Criterio di Cauchy

3.6 Frazioni continue

4. Limiti in C. Limiti in Rn 4.1 Funzioni da Rn in Rm e loro limiti

4.2 Successioni e topologia di Rn 4.3 Il criterio di Cauchy

Funzioni continue

181 182 187 187 193 195

199

1. Funzioni continue da R in R 1.1 Definizione di continuita` 1.2 Punti di discontinuita` 1.3 Proprieta` fondamentali delle funzioni continue su un intervallo 204 1.4 La continuita` uniforme 207

199

199 202

2. Funzioni continue da Rn in Rm 211 2.1 Una caratterizzazione delle funzioni continue 211 2.2 Funzioni continue su un compatto 214 2.3 Funzioni continue su un connesso 215

3. Funzioni elementari 216 3.1 Funzioni razionali intere. Polinomi 216 3.2 Funzioni razionali fratte 220 3.3 Funzioni algebriche 223 3.4 Esponenziali e logaritmi 224 3.5 Funzioni iperboliche e loro inverse 227 3.6 Funzioni circolari (o trigonometriche) e loro inverse 230 3.7 Esponenziale complesso 235 3.8 Logaritmo complesso. Operazione di elevamento a potenza

nel campo complesso 237

Calcolo di↵erenziale 1 Funzioni reali di variabile reale 241

1. Derivata e di↵erenziale 241

1.1 Definizione di derivata. Derivata destra, derivata sinistra. Derivate successive 241

1.2 Algebra delle derivate 248 1.3 Derivata di funzione composta. Derivata logaritmica 251 1.4 Derivata di funzione inversa 254 1.5 Di↵erenziale 257

2. I teoremi fondamentali del calcolo di↵erenziale 260 2.1 Teorema di Fermat. Estremi locali 260 2.2 Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange 262 2.3 Prime conseguenze del teorema di Lagrange 264 2.4 Il teorema di de L’Hoˆpital 269 2.5 La formula di Taylor 274

3. Alcune applicazioni 286 3.1 Funzioni convesse e concave 286 3.2 Applicazioni della formula di Taylor 293 3.3 Determinazione del grafico di una funzione 299 3.4 Risoluzione numerica di equazioni 302

vi Indice generale

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Calcolo di↵erenziale 2. Funzioni di piu` variabili

1. Funzioni da Rn in R 1.1 Derivate direzionali e derivate parziali

1.2 Di↵erenziale 1.3 Derivate e di↵erenziali di ordine superiore 1.4 Formula di Taylor 1.5 Funzioni omogenee; funzioni convesse e concave

2. Funzioni a valori vettoriali

2.1 Derivate e di↵erenziali 2.2 Di↵erenziale delle funzioni composte 2.3 Funzioni da C in C 2.4 Il teorema di inversione locale

3. Funzioni implicite

3.1 Esempi preliminari 3.2 Il teorema di Dini 3.3 Insiemi di livello. Punti singolari 3.4 Inviluppo di una famiglia di curve 3.5 Il teorema delle funzioni implicite in piu` di due variabili 3.6 Funzioni definite da un sistema di equazioni

Integrali di funzioni di una variabile. Serie numeriche

1. Integrale di Riemann

313

313

313 317 322 328 330 338 338 345 347 349 359 359 361 365 374 377 383

391

391

1.1 Definizione di integrale 1.2 Caratterizzazioni dell’integrale e significato geometrico 1.3 Classi di funzioni integrabili 1.4 Proprieta` dell’integrale 1.5 Primo teorema fondamentale del calcolo integrale 1.6 Funzione integrale; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale 406 1.7 Integrale indefinito 408 1.8 Regole di integrazione 411 1.9 Integrali dipendenti da un parametro 414 1.10 Integrazione numerica 417

2. Serie numeriche 428 2.1 Definizione di serie e prime proprieta` 428 2.2 Serie a termini non negativi 432 2.3 Convergenza e convergenza assoluta 438 2.4 Operazioni sulle serie 443 2.5 Proprieta` associativa e commutativa 445 2.6 Medie aritmetiche 448

3. Estensioni dell’integrale di Riemann 452 3.1 Integrali impropri 452 3.2 Criteri di convergenza 455 3.3 Serie e integrali 459 3.4 Integrale di Stieltjes 460

Appendice. Cenno all’Analisi non standard 466 Grafici richiamati nel testo 473 Indice analitico 481

 

Dopo numerose ristampe esce ora una nuova edizione di quest’opera che aveva ricevuto, al tempo della prima edizione nel 1990, un’accoglienza assai lusinghiera presso un vasto pubblico di studenti dei corsi di laurea scientifici. Da allora il nuovo ordinamento degli studi universitari, basato sul modello di una laurea triennale seguita da un biennio specialistico, ha più volte mutato le caratteristiche dell’insegnamento della matematica di base.

Analisi matematica 1 si ripresenta aggiornato e con una veste tipografica nuova:

  • mostra, con numerosi esempi, la forte interazione tra la matematica e le scienze applicate;
  • sottolinea sempre il punto di vista strutturale, essenziale nella modellistica;
  • il capitolo su Integrali di funzioni di una variabileSerie numeriche ha subìto estese modifiche;
  • sono stati inseriti nuovi esercizi;
  • alcune dimostrazioni sono ora più scorrevoli.

Questo libro di testo continua a risultare adatto a corsi che mantengono un elevato livello di completezza degli argomenti trattati e una speciale attenzione per gli aspetti funzionali dell’Analisi classica.

 

  • Anno 2015
  • Autore Pagani, Salsa
  • codice isbn 9788808151339
  • Edizione Seconda
  • Nota Copertina flessibile
  • Pagine 496

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